Egyszer régen egy eldugott kis faluban nagy problémája akadt az ott élő embereknek. Mindenki nagyon szeretett ott lakni, de sajnos csak akkor volt ivóvíz, amikor esett az eső. A település vénjei eldöntötték, hogy egyszer és mindenkorra meg szeretnék oldalni ezt a problémát. Két lakó jelentkezett, hogy biztosítsa a vízellátást.

A falutól egy kilóméterre volt egy tó. Az egyik jelentkező, Ed, azonnal elindult és két kezében két vödörrel saját maga kezdte el oda-vissza hordani a vizet. Kemény munka volt, hiszen már hajnalban, a falu ébredése előtt mennie kellett, de Ed nagyon boldog volt, mivel már az első nap pénzt keresett.

“Egész nap csak azzal a vésővel játszol. Csinálj inkább valami hasznosat és segíts a bátyádnak felvinni a köveket a dombra!” – Néha olyan keményen dolgozunk, hogy nem állunk meg gondolkodni a jobb lehetőségeken.

A másik fickót, Bill-t, hónapokig nem is látták. Ed elégedetten vette tudomásul, hogy versenytárs nélkül maradt. Bill csak fél év múlva tért vissza, amikor bejelentette, hogy vízvezetéket épít a tótól a faluig.

Mivel Bill már tudta, hogy a falu lakói panaszkodnak Ed vizének tisztaságára, elmesélte nekik, hogy az Ő vize kifogástalan tisztaságú. Ráadásul, Ed-el ellentétben a nap 24 órájában, még hétvégén is folyik majd víz a csapból! Mindezt Ed árainak harmadáért kínálta. A falu népe azonnal átpártolt Bill vízcsapjaihoz.

Mit tett erre Ed? Ő is lejjebb vitte az árait és eldöntötte, hogy még keményebben fog dolgozni. Saját nyeresége rovására felvett maga mellé egy embert és így már négy vödörrel szállították a vizet. De ez sem volt elég, mivel Bill közben már a környező városokban is elkezdett terjeszkedni. Bill ekkor már megállíthatlan volt…

A lineáris és az exponenciális függvény

Úgy érzem ezzel a főcímmel fogom elveszíteni az olvasótábor felét, de sebaj, a többiek most figyeljenek!  Matekórán mindenki tanult a függvényekről. Nekem volt szerencsém a legkisebbektől elkezdve az egyetemistákig minden korosztálynak tanítani a függvényeket. Mindig nagy meglepődéssel tapasztaltam, hogy ez az egyik legkevésbé értett témakör a diákoknál. Érdekes, pedig már általános iskola első osztályában is tanultunk róluk. Ugye mindenki emlékszik arra a kis köcsög robotra, amibe beledobtunk számokat az egyik oldalán és a másik oldalán pedig valamilyen szabályszerűség alapján kiköpött egy másik számot. Nos, ez volt az első függvény mindenki életében! Már elsőben, bizony. Amikor ezt a diákjaimnak mesélem, általában a következő reakció fogad.

Hermione most tudta meg, hogy a kis köcsög robot volt az első függvény elsőben!

A függvények egyszerű dolgok. Mint mondtuk, az egyik oldalán bemegy valami, a másikon pedig kijön. Olyan, mint a hurkatöltő! De mégis mi megy bele? Vegyük Ed és Bill esetét, ami remekül példázza e két függvény kapcsolatát.

Ed szimbolizálja a lineáris, egyenletes fejlődést. (Az ábrán egyenes, piros függvény.) Már az első pár napban érezhető a növekedés, mivel egyre több és több vizet adott el. Ed minden nap egy picivel boldogabb és gazdagabb lett.
Bill ezzel szemben noha ugyanolyan keményen dolgozott, mint Ed, egy deci vizet sem adott el hosszú ideig. Bill előmenetele a kék, exponenciális függvényen látható, mely mutatja, hogy az első időszakban bizony jóval Ed teljesítménye alatt marad.^* Ebben az időszakban Bill környzete, a társadalom és talán még a nehéz napokon Bill is úgy gondolja, hogy Ed döntött jól.

Ha Bill ezekben a nehéz pillanatoban feladta volna, akkor ez így is lenne. De Bill látta maga előtt azt, hogy hová szeretne eljutni, ezért tovább dolgozott és szépen lassan elkezdett növekedni. Tudta, hogy az Ő útján csak később tudja learatni munkája gyümölcsét. Az ábrán látható, hogy annak ellenére, hogy az exponenciális függvény sokáig a lineáris alatt halad, az ott elveszített növekedést a találkozási pont (zölddel jelölve) után hamar behozzuk és hosszú távon nyereségesebb. Mint ahogy az a történetből is kiderül, Bill később mindig gyorsabban tudott növekedni és minden nap egyre nagyobb mértékben tudott boldogabb és gazdagabb lenni. Mivel egységi nyeresége folyamatosan nő, a találkozási pont után a két függvény csak távolodik egymástól.

Bill és Ed esete nem egyedi, ahogyan a lineáris és az exponenciális fejlődésre is számtalan példát találhatunk. Így van mindannyiunk életében például a tanulással is. Tudjuk, hogy az önmagunk fejlesztésébe fektetett időnek az esetek nagy többségében nincs rövidtávú eredménye. Persze, átmegyünk a vizsgán, nem bukunk meg év végén, de a tanulás igazi hasznát csak hosszú távon érezzük majd. Akik “lineárisan” tanulnak, azaz csak vizsgáról vizsgára, lépésről lépésre, nem igazán belefektetve, ebben is “csak” lineáris fejlődésre számíthatnak.

Mondtam már, hogy néha bűvészkedem is…? :)

Csak hogy személyes példát is említsek, az én esetemben a bűvészkedés ilyen volt. Az elején mindig kiejtettem a kártyákat a kezemből, minden kézmozdulat furának, nehéznek tűnt. Noha a befektetett energiamennyiség kifejezetten sok volt, eredményét sokáig nem éreztem, külső szemlélő számára nem lettem jobb bűvész. Aztán ahogy tanulgattam a legkönyebb trükköket és az alapvető mozdulatokat, egyre jobb és jobb lettem. Később, mivel már többet tudtam és rengeteg mozdulatot ismertem, egyre gyorsabban és gyorsabban tanultam meg az újabb és jóval nehezebb trükköket is. Régen napokba telt, mire összeügyetlenkedtem egy új trükköt, ma pár óra alatt begyakorlok egyet. Ha lineárisan fejlődtem volna (tehát a fejlődés üteme nem növekedett volna), akkor ma sem tanulnék gyorsabban, mint régen. Ebből is látszik, hogy a tanulás egy kifejezetten jó terület az exponenciális fejlődésre.

A tanulság

Régen sokat olvastam Ezópusz meséit, melyekben mindig volt valami érdekes tanulság. Számomra ezekből a történetekből az a tanulság, hogy mindig próbáljuk meg keresni az exponenciálisan fejlődő területeket életünkben, hiszen ez hosszú távon jóval kifizetődőbb, mint a lineáris fejlődés. Gondoljunk a fizetésünkre, a hiteleinkre, a sikereinkre, a szerelmi életünkre, a barátainkra. Nézzük meg a tanulmányainkat, a környezetünket, családunkat, az embereket, akik körülvesznek bennünket és gondolkodjunk el: vajon olyan helyen vagyunk, ahol lehetséges számunkra az exponenciális fejlődés?
Albert Eistein egyszer azt mondta, hogy a “kamatos kamat a világ nyolcadik csodája. Aki érti, keresi, aki nem érti, fizeti.” A kamatos kamat egy jó példája az exponenciális változásnak. Ha megértjük hogyan működik, profitálunk belőle. Ha nem, akkor nagy valószínűséggel más exponenciális fejlődéséhez fogunk asszisztálni. Természetesen az életben nem minden helyzet fekete vagy fehér, sőt. Sokszor nagyon nehéz megállapítani, hogy éppen milyen pályán is vagyunk. Ez nemes egyszerűséggel azért van, mert az agyunk kiábrándítóan lusta. Mindenki a közelmúltra emlékszik a legjobban vissza és ebből következtetünk a közeli jövőnkre. Ha így nézzük (azaz ráközelítünk arra, hogy hogyan is állunk), akkor minden fejlődés ugyanolyan: lineáris.

Ahogy láthatjuk, ha elég közel megyünk olyan, mintha két egyenes metszené egymást. Ezért ahhoz, hogy jól tudjuk szemlélni saját fejlődésünket, távolabb kell lépnünk és el kell engednünk a fantáziánkat. Azt mindenki tudja, hogy hol lesz egy hét múlva és elég konkrétan le tudja írni saját jövőbeli helyzetetét. El tudjuk képzelni, mivel tudunk a közelmúltból következtetni. Ha előző héten is dolgoztam a munkahelyemen, akkor valószínűleg a jövő héten is fogok. Azt azonban, hogy hol leszünk 5 vagy akár 10 év múlva már nem tudjuk olyan élesen megfogalmazni. Milyen színű lesz a hajam? Mekkora lakásban fogok élni? Hogy fogják hívni a kutyámat? Sokkal nehezebb elképzelni az apró részleteket a távoli jövőben.

Keresnünk kell tehát az exponenciális fejlődést, de ahhoz, hogy megállapíthassuk, hogy merre haladunk és milyen sebességgel, tudnunk kell, hogy hová tartunk és hogy honnan jöttünk. És ez nem is olyan könnyű, mint amilyennek tűnik. Persze erre is megvannak a jól irányzott technikák, melyekről nemsokára olvashattok is tőlünk.

* Matematikailag a növekvő exponenciális függvény alapja 1-nél nagyobb, nem tud nulláról indulni. Azaz már a legeslegelején is van egy pici növekedés benne. De példánkban ettől eltekintettünk és szimplán csak később indítottuk el a fejlődést.

Források:

• Robert T. Kiyosaki:The Cashflow Quadrant (4 – 5. oldal)
• Hermione gif: giphy.com